Question

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且它的離心率．直線
與橢圓交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值；
（Ⅲ）若直線與圓相切，橢圓上一點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) ；
(Ⅱ)，為定值．
（Ⅲ）的取值范圍為 ．

試題分析：(Ⅰ) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由已知得：，解得   
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：   4分
(Ⅱ) 由，得，設(shè)，，
則，為定值． 9分
（Ⅲ）因?yàn)橹本�與圓相切
所以，     
把代入并整理得：
設(shè)，則有 

因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010902441958.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上， 所以，
．   因?yàn)?   所以 ，
所以 ，所以 的取值范圍為 ．     16分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及橢圓的題目，在近些年高考題中是屢見(jiàn)不鮮，往往涉及求標(biāo)準(zhǔn)方程，研究直線與橢圓的位置關(guān)系。求標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考慮定義及a,b,c,e的關(guān)系，涉及直線于橢圓位置關(guān)系問(wèn)題，往往應(yīng)用韋達(dá)定理。涉及直線于圓的位置關(guān)系問(wèn)題，往往利用“特征三角形”。本題在應(yīng)用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上，得到參數(shù)的表達(dá)式，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)使問(wèn)題得解。