Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，證明：；

（2）若，有且只有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，，，求正整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）2

【解析】

（1）將代入，求導(dǎo)后根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可證明；

（2）由有且只有個(gè)零點(diǎn)，對(duì)分類討論，得的極大值大于，得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再根據(jù)（1）驗(yàn)證由有且只有個(gè)零點(diǎn)即可；

（3）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)，求出函數(shù)的最大值，再代入，即可得到正整數(shù)的最小值

（1）由題知，，，

所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

所以；

（2）因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不可能有個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，令，解得，

所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

所以，

若只有個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，

由（1）知：，所以，令，

解得：或，

所以，存在，滿足；

存在，滿足；

所以在和上個(gè)恰有個(gè)零點(diǎn)，符合題意，

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）令，

所以，

，.

令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

所以，

令，因?yàn)?/span>，，

又因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，

所以整數(shù)的最小值為.