【題目】已知函數f(x)= 是奇函數.
(1)求實數a的值;
(2)判斷函數f(x)的單調性,并給以證明;
(3)求函數f(x)的值域.
【答案】
(1)解:由題意:函數f(x)= 是奇函數.
∴f(﹣x)+f(x)=0.
即: =0
化簡整理得: =0
可得:a2x+2=a+22x
解得:a=2.
所以實數a的值為2
(2)解:由(1)得f(x)= ,其定義域為R.
函數f(x)在定義域R上單調減函數.證明如下:
設x1<x2,那么:f(x1)﹣f(x2)= = ,
∵x1<x2,
∴ ,
故得f(x1)﹣f(x2)>0.
所以函數f(x)在定義域R上單調減函數
(3)解:由(1)可得f(x)= = = .
∵
∴f(x) ,
所以函數f(x)的值域為(﹣∞, )∪( ,+∞)
【解析】(1)利用奇函數的定義求解即可:即f(﹣x)+f(x)=0.(2)求函數的定義域,利用定法證明其單調性.(3)對函數進行化簡,分離常數法,即可得到值域.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識,掌握在公共定義域內,偶函數的加減乘除仍為偶函數;奇函數的加減仍為奇函數;奇數個奇函數的乘除認為奇函數;偶數個奇函數的乘除為偶函數;一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】若二次函數f(x)=x2+bx+c滿足f(2)=f(﹣2),且函數的f(x)的一個根為1.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)對任意的x∈[ ,+∞),方程4mf(x)+f(x﹣1)=4﹣4m有解,求實數m的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】有下列四種說法:
①命題“”為假,則、至少一個為假;
②命題“一次函數都是單調函數”的否定是“一次函數都不是單調函數”;
③動點到點 與到點的距離之和為2,則點的軌跡是焦點在軸上的橢圓;
④命題“若直線與雙曲線相切,則該直線與雙曲線只有一個公共點”的逆命題是真命題.
其中正確的有__________.(填寫序號)
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【題目】第31屆夏季奧林匹克運動會于2016年8月5日至8月21日在巴西里約熱內盧舉行.如表是近五屆奧運會中國代表團和俄羅斯代表團獲得的金牌數的統計數據(單位:枚).
第30屆倫敦 | 第29屆北京 | 第28屆雅典 | 第27屆悉尼 | 第26屆亞特蘭大 | |
中國 | 38 | 51 | 32 | 28 | 16 |
俄羅斯 | 24 | 23 | 27 | 32 | 26 |
(1)根據表格中兩組數據在答題卡上完成近五屆奧運會兩國代表團獲得的金牌數的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩國代表團獲得的金牌數的平均值及分散程度(不要求計算出具體數值,給出結論即可);
(2)如表是近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數之和(從第26屆算起,不包括之前已獲得的金牌數)隨時間變化的數據:
時間(屆) | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
金牌數之和(枚) | 16 | 44 | 76 | 127 | 165 |
作出散點圖如圖:
由圖可以看出,金牌數之和與時間之間存在線性相關關系,請求出關于的線性回歸方程,并預測到第32屆奧運會時中國代表團獲得的金牌數之和為多少?
附:對于一組數據, ,…, ,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
,
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】平面內動點P(x,y)與兩定點A(-2, 0), B(2,0)連線的斜率之積等于,若點P的軌跡為曲線E,過點Q作斜率不為零的直線交曲線E于點.
(I)求曲線E的方程;
(II)求證: ;
(III)求面積的最大值.
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【題目】某經銷商從外地水產養(yǎng)殖廠購進一批小龍蝦,并隨機抽取40只進行統計,按重量分類統計結果如下圖:
(1)記事件為:“從這批小龍蝦中任取一只,重量不超過35的小龍蝦”,求的估計值;
(2)若購進這批小龍蝦100千克,試估計這批小龍蝦的數量;
(3)為適應市場需求,了解這批小龍蝦的口感,該經銷商將這40只小龍蝦分成三個等級,如下表:
等級 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
重量() |
按分層抽樣抽取10只,再隨機抽取3只品嘗,記為抽到二等品的數量,求抽到二級品的期望.
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