Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：對于，總有

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)存在區(qū)間使得即在上能成立，根據(jù)函數(shù)的最小值即可確定的范圍；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的導(dǎo)數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

（1）由題，

因為函數(shù)在存在單調(diào)增區(qū)間，

故在區(qū)間內(nèi)存在區(qū)間使得成立，

即能成立，

即在上能成立，

而在的最小值是，

故；

（2）若，則，

，

而，

又因為，所以，

要證原不等式成立，只要證，

只要證，

只要證，在上恒成立，

首先構(gòu)造函數(shù)，，

因為，

可得，在時，，即在上是減函數(shù)，

在時， ，即在上是增函數(shù)，

所以，在上，，所以，

所以，，等號成立當且僅當時，

其次構(gòu)造函數(shù)，，

因為，

可見時，，即在上是減函數(shù)，

時， ，即在上是增函數(shù)，

所以在上，，所以，

所以，，等號成立當且僅當時．

綜上所述，，

因為取等條件并不一致，

所以，在上恒成立，

所以，總有成立．