Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為2，求實(shí)數(shù)a；
（Ⅱ）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]的最值及所對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用在x=1處的切線斜率為2，列出方程即可求實(shí)數(shù)a；
（Ⅱ）通過a=1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，然后求解函數(shù)的最值以及x的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³-3ax
∴f′（x）=3x²-3a…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1處的切線斜率為2，
∴f′（1）=3-3a=2，
∴a=$\frac{1}{3}$…（4分）．
（Ⅱ）由a=1，得：函數(shù)f（x）=x³-3x…（5分）
則：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
令f′（x）=0，則x=1或x=-1…（8分）

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	單調(diào)遞減	極小值-2	單調(diào)遞增	18

…（10分）
故：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=-2；…（12分）
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_max=f（3）=18．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．