Question

過點P（1，0）作曲線C：y=x³（x∈（0，+∞））的切線，切點為Q₁，過Q₁作x軸的垂線交x軸于點P₁，又過P₁作曲線C的，切點為Q₂，過Q₂作x軸的垂線交x軸于點P₂，…，依次下去得到一系列點Q₁，Q₂，Q₃，…，設點Q_n的橫坐標為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求和；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由曲線C：y=x³，求導得切線斜率，切點Q_n的坐標（a_n，a_n³），得切線方程，切線過點P_n-1（a_n-1，0），代入方程，得關于數列{a_n}項的關系式，變形得出數列{a_n}為等差數列，可求數列{a_n}的通項公式；
（2）把每一項的分子用錯位相減法都化為1，然后用等比數列的前n項和求解．
（3）法1，把分解為1+后用二項式定理，取前兩項即可；
法2，用數學歸納法：第一步，當n=2時，結論成立；第二步，假設n=k時，結論成立，證明n=k+1時結論也成立．
解答：解：（1）∵y=x³，∴y′=3x²，設Q_n的坐標為（a_n，a_n³），
則切線方程為y-a_n³=3a_n²（x-a_n），
切點為Q₁時，過點P（1，0），
即：0-a₁³=3a₁²（1-a₁），
依題意a₁＞0．所以．（2分）
當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），
即：0-a_n³=3a_n²（a_n-1-a_n），
依題意a_n＞0，所以．（3分）
所以數列a_n是首項為，
公比為的等比數列．所以．（4分）
（2）記S_n=+…+，
因為，
所以=+…+．（5分）
兩式相減得：
=+…+=+…+
==．（7分）
∴==．（9分）
（3）①證法1：=+…+
．（14分）
②證法2：當n=2時，．（10分）
假設n=k時，結論成立，即，
則．
即n=k+1時．．（13分）
綜上，，（n≥2，n∈N^*）．（14分）
點評：本小題主要考查數列、導數、不等式和數學歸納法等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及邏輯推理，抽象概括能力，運算求解能力和創(chuàng)新意識，此題有點難度，需要同學們掌握．用錯位相減法求數列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數列的項與等比數列的項的乘積．