Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若t∈（0，2），對(duì)于x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)t=2時(shí)，f（x）=（x﹣t）|x|= ，

根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得：

f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）解：f（x）= ，

當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[ ，+∞），（﹣∞，0]，單調(diào)減區(qū)間為[0， ]，

當(dāng)t=0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R

當(dāng)t＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，+∞），（﹣∞， ]，單調(diào)減區(qū)間為[ ）

（3）解：設(shè)g（x）=f（x）﹣x= ，

x∈[0，2]時(shí)，∵ ∈（0，2），∴gmin（x）=g（ ）=﹣

x∈[﹣1，0]時(shí)，∵g（﹣1）=﹣t，g（0）=0，∴gmin（x）=﹣t

故只須t∈（0，2），使得： 成立，即 ．

所以a≤﹣

【解析】（1）當(dāng)t=2時(shí)，f（x）=（x﹣t）|x|= ，作出其圖像，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）分t＞0、t=0、t＜0三類討論，可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)g（x）=f（x）﹣x= ，依題意，可求得gmin（x）=﹣t，只須t∈（0，2），使得： 成立，解之即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的奇偶性與單調(diào)性的綜合，需要了解奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能得出正確答案．