Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過(guò)A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為10．
（Ⅰ）求棱AA₁的長(zhǎng)；
（Ⅱ）若A₁C₁的中點(diǎn)為O₁，求異面直線(xiàn)BO₁與A₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AA₁=h，由題設(shè)VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，可求出棱長(zhǎng)．
（Ⅱ）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中A₁D₁∥BC，所以∠O₁BC即為異面直線(xiàn)BO₁與A₁D₁所成的角（或其補(bǔ)角）那么借助于三角形求解得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)AA₁=h，
由題設(shè)VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10，
∴S正方形ABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=10，解得h=3．
故A₁A的長(zhǎng)為3．

（Ⅱ）∵在長(zhǎng)方體中，A₁D₁∥BC，
∴∠O₁BC為異面直線(xiàn)BO₁與A₁D₁所成的角（或其補(bǔ)角）．
在△O₁BC中，AB=BC=2，A₁A=3，
∴AA₁=BC₁=

4+9

=

13

，A1O1=

1

2

A1C1=

2

，
∴O1B=O1C=

11

，
則cos∠O₁BC=

BO12+BC2-O1C2

2•BO1•BC

=

11+4-13

2× 11 ×2

=

11

22

．
∴異面直線(xiàn)BO₁與A₁D₁所成角的余弦值為

11

22

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)，線(xiàn)和面間的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用了法向量的方法求點(diǎn)到面的距離．