Question

函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x（a＞0），
（1）若x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）設(shè)直線(xiàn)x=-1和y=-2x將平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個(gè)區(qū)域，若y=f（x）的圖象恰好位于其中一個(gè)區(qū)域，試判斷其所在區(qū)域并求出對(duì)應(yīng)的a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=

1 x+1 -2(x+1)ln(x+1)

(x+1)4

-

a

(x+1)2

-2，由f（x）在x=0處取極值，能求出a．
（2）由函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-a＜0，又直線(xiàn)y=-2x恰好過(guò)原點(diǎn)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅳ內(nèi)，于是f（x）＜-2x，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

1 x+1 -2(x+1)ln(x+1)

(x+1)4

-

a

(x+1)2

-2，
∵x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴1-a-2=0，∴a=-1．
（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-a＜0，
又直線(xiàn)y=-2x恰好過(guò)原點(diǎn)，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅳ內(nèi)，
于是f（x）＜-2x，
即

ln(x+1)

(x+1)2

-

a

x+1

-2x＜-2x，
即

ln(x+1)

(x+1)2

＜

a

x+1

∵x+1＞0，∴a＞

ln(x+1)

x+1

令m（x）=

ln(x+1)

x+1

，
∴m′（x）=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，
令m′（x）=0，得x=e-1，
∵x＞-1，∴x∈（-1，e-1）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增，
x∈（e-1，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減．
∴m（x）_max=n（e-1）=

1

e

，
∴a的取值范圍是：a＞

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．