如圖，已知圓E ，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動點Q的軌跡的方程；
（2）點，，點G是軌跡上的一個動點，直線AG與直線相交于點D，試判斷以線段BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（1）點Q的軌跡的方程為為．（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切．

解析試題分析：（1）連結(jié)QF，由于線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據(jù)橢圓的定義知，動點Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）直線與圓的位置關(guān)系一般通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來確定． 由題意，設(shè)直線AG的方程為，則點D坐標(biāo)為，由此可得圓心和半徑.下面用k表示點G的坐標(biāo)，求出直線GF方程為，進(jìn)而求到圓心到直線GF的距離便可知道以BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系．
（1）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，
則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．             .2分
設(shè)其方程為，可知，，則，         ..3分
所以點Q的軌跡的方程為為． 4分
（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 5分

由題意，設(shè)直線AG的方程為，則點D坐標(biāo)為，BD的中點H的坐標(biāo)為．
聯(lián)立方程組消去y得，
設(shè)，則，
所以，， 7分
當(dāng)時，點G的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為.
直線GF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓與直線GF相切． 9分
當(dāng)時，則直線GF的斜率為，則直線GF方程為，
點H到直線GF的距離，又，
所以圓心H到直線GF的距離，此時，以BD為直徑的圓與直線GF相切．
綜上所述，以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 13分
考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的關(guān)系；3、最值問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo);
(2)若,求證：直線恒過定點；
(3)當(dāng)時，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足， ，M點的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。

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設(shè)橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為為，恰是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

長方形中，，．以的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

(1) 求以、為焦點，且過、兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 過點的直線交(1)中橢圓于兩點，是否存在直線，使得以線段為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，過準(zhǔn)線上一點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，線段的中點為，直線交拋物線于，兩點．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點是線段的中點？若存在，求出值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點A、B，如果弦的長度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個頂點，△是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓．
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若點是圓劣弧上一動點（點異于端點，），直線分別交線段，橢圓于點，，直線與交于點．
（�。┣�的最大值；
（ⅱ）試問：..，兩點的橫坐標(biāo)之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C2的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C1相交于點A、D，與曲線C2順次相交于點B、C，當(dāng)時，求直線l的方程．

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