Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2，且．
（1）求該正四棱柱的體積；
（2）若E為線段A₁D的中點，求異面直線BE與AA₁所成角的大�。�

Answer 1

解：（1）如圖
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴AA₁⊥AD，故，…（3分）
∴正四棱柱的體積為（2²）×3=12． …（6分）
（2）設G是棱AD中點，連GE，GB，在△A₁AD中，
∵E，G分別為線段A₁D，AD的中點，
∴EG∥A₁A，且，
∴∠GEB就是異面直線AA₁與BE所成的角． …（8分）
∵A₁A⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA₁⊥GB，
又EG∥A₁A，∴EG⊥BG，…（10分）
∵，
∴，故．
所以異面直線AA₁與BE所成角的大小為． …（12分）
分析：（1）由題意可得AA₁的長度，代入柱體的體積公式可得答案；（2）設G是棱AD中點，可得∠GEB就是異面直線AA₁與BE所成的角，由三角形的知識可得，由反正切函數(shù)可得角的大�。�
點評：本題考查棱柱的體積，以及異面直線所成的角，涉及反三角函數(shù)的應用，屬中檔題．