Question

【題目】已知函數(shù) 是自然對數(shù)的底數(shù)， .
（1）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若 為整數(shù)， ，且當(dāng) 時， 恒成立，其中 為 的導(dǎo)函數(shù)，求 的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解： .

若 ，則 恒成立，所以， 在區(qū)間 上單調(diào)遞增

若 ，當(dāng) 時， ， 在 上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng) 時， 的增區(qū)間為 ；當(dāng) 時， 的增區(qū)間為

（2）解：由于 ，所以，

當(dāng) 時， ，故 ————①

令 ，則

函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，而

所以 在 上存在唯一的零點(diǎn)，

故 在 上存在唯一的零點(diǎn).

設(shè)此零點(diǎn)為 ，則 .

當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；

所以， 在 上的最小值為 .由 可得

所以， 由于①式等價于 .

故整數(shù) 的最大值為2.

【解析】(1)根據(jù)題意求出導(dǎo)函數(shù)討論a的取值范圍即可得出函數(shù)的增區(qū)間。(2)由已知運(yùn)用參數(shù)分離可得求出導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再運(yùn)用零點(diǎn)存在定理即可求得k的最大值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．