Question

【題目】已知A、B、C為三個銳角，且A+B+C=π，若向量 =（2sinA﹣2，cosA+sinA）與向量 =（cosA﹣sinA，1+sinA）是共線向量． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin2B+cos 的最大值．

Answer 1

【答案】解：①∵ =（sinA﹣cosA，1+sinA），且 共線， 可得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA﹣cosA）（cosA+sinA）=0，化簡可得sinA=± ．
又△ABC是銳角三角形，∴sinA= ．
②由A= 得B+C= ，即C= ﹣B，
y=2sin2B+cos
=1﹣cos2B+cos sin2B
=1+sin2Bcos ，
∵ ，∴ ，∴ ＜2B＜π，∴ ，
∴ ．故 ．
因此函數(shù)y=2sin2B+cos 的值域為（ ，2]，故函數(shù)y的最大值等于2
【解析】（1）由已知 ，利用向量共線的條件及A為銳角整理可得，sinA= ，從而可求角A的值．（2）結(jié)合（1）中的條件可把所求函數(shù)式化簡得， ，利用輔助角公式可得y=sin（2B﹣ ）+1，結(jié)合題中銳角三角形的條件可求B的范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的值域，從而得到函數(shù)的最大值．
【考點精析】利用兩角和與差的正弦公式和二倍角的余弦公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的正弦公式：；二倍角的余弦公式：．