Question

設(shè)函數(shù)、，且f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，其中.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）證明不等式：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)；（2）先找出（x1－x2）的取值范圍，再利用g（x）的導(dǎo)函數(shù)可找出最小值；（3）適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，并注意x1與x2的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問(wèn)題，證明相關(guān)不等式.

試題解析：（Ⅰ）由題：

∵函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，且

∴關(guān)于的方程即在內(nèi)有不等二實(shí)根

令、，則

由圖像可得即

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

∴

∴

由得

∴當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增

∴

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

∴

令，則且

令，則

∴

∵

∴即在上是減函數(shù)

∴

∴在上是增函數(shù)

∴即

考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，最值，不等式證明