【題目】已知曲線T上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為,直線l交曲線T于A、B兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求曲線的方程;

(2)若不過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,記線段AB的中點(diǎn)為M,求證:直線的斜率與l的斜率的乘積為定值;

(3)若OAOB,求△面積的取值范圍.

【答案】(1)(2)證明過程詳見解析(3)

【解析】

(1)利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓,直接寫出橢圓的方程.

(2)設(shè)直線l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,通過韋達(dá)定理求解KOM,然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

(3)當(dāng)直線OAOB分別與坐標(biāo)軸重合時(shí),△AOB的面積,當(dāng)直線OA,OB的斜率均存在且不為零時(shí),設(shè)OAykxOBy,將ykx代入橢圓C,得到A點(diǎn)坐標(biāo),同理得到B點(diǎn)坐標(biāo),由利用換元法結(jié)合已知條件能求出△AOB的面積的取值范圍.

解:(1)由題意知曲線是以原點(diǎn)為中心,長(zhǎng)軸在軸上的橢圓,

設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為,則有

所以,∴ .

(2)證明:設(shè)直線的方程為,

設(shè)

則由 可得,即

,∴ ,

,

,

∴直線的斜率與 的斜率的乘積=為定值

(3)當(dāng)直線、分別與坐標(biāo)軸重合時(shí),易知的面積,

當(dāng)直線、的斜率均存在且不為零時(shí),設(shè)直線、的方程為點(diǎn),

可得,

,代入 ,

同理可得,

,

,

綜上可知 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】第23屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2018年2月9日至2月25日在韓國(guó)平昌舉行,期間正值我市學(xué)校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會(huì)對(duì)全校教職工在冬季奧運(yùn)會(huì)期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一次調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:

收看時(shí)間(單位:小時(shí))

[0,1)

[1,2)

[2,3)

[3,4)

[4,5)

[5,6)

收看人數(shù)

14

30

16

28

20

12

(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“體育達(dá)人”,否則定義為“非體育達(dá)人”,請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全列聯(lián)表:

合計(jì)

體育達(dá)人

40

非體育達(dá)人

30

合計(jì)

并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān);

(2)在全校“體育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名,再?gòu)倪@6名“體育達(dá)人”中選取2名作冬奧會(huì)知識(shí)講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某市規(guī)定,高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格.某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù),按時(shí)間段(單位:小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求抽取的20人中,參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù);

(2)從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人,求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次方程

a是從區(qū)間中任取的一個(gè)整數(shù),b是從區(qū)間中任取的一個(gè)整數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

a是從區(qū)間任取的一個(gè)實(shí)數(shù),b是從區(qū)間任取的一個(gè)實(shí)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

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【題目】某科技創(chuàng)新公司投資萬(wàn)元研發(fā)了一款網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)品,產(chǎn)品上線第1個(gè)月的收入為40萬(wàn)元,預(yù)計(jì)在今后若干個(gè)月內(nèi),該產(chǎn)品每月的收入平均比上一月增長(zhǎng),同時(shí),該產(chǎn)品第1個(gè)月的維護(hù)費(fèi)支出為萬(wàn)元,以后每月的維護(hù)費(fèi)支出平均比上一個(gè)月增加50萬(wàn)元.

(1)分別求出第6個(gè)月該產(chǎn)品的收入和維護(hù)費(fèi)支出,并判斷第6個(gè)月該產(chǎn)品的收入是否足夠支付第6個(gè)月的維護(hù)費(fèi)支出?

(2)從第幾個(gè)月起,該產(chǎn)品的總收入首次超過總支出?(總支出包括維護(hù)費(fèi)支出和研發(fā)投資支出)

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【題目】某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x, y, z, 用綜合指標(biāo)S =" x" + y + z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí). S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品. 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中, 隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:

產(chǎn)品編號(hào)

A1

A2

A3

A4

A5

質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)

(1,1,2)

(2,1,1)

(2,2,2)

(1,1,1)

(1,2,1)

產(chǎn)品編號(hào)

A6

A7

A8

A9

A10

質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)

(1,2,2)

(2,1,1)

(2,2,1)

(1,1,1)

(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率;

(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品,

(1) 用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;

(2) 設(shè)事件B在取出的2件產(chǎn)品中, 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙二人同時(shí)從地趕往地,甲先騎自行車到兩地的中點(diǎn)再改為跑步;乙先跑步兩地的中點(diǎn)再改為騎自行車,最后兩人同時(shí)到達(dá).甲騎自行車比乙騎自行車的速度快,并且兩人騎車的速度均大于跑步的速度.現(xiàn)將兩人離開地的距離與所用時(shí)間的函數(shù)關(guān)系用圖像表示如下,則這四個(gè)函數(shù)圖像中,甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)函數(shù)關(guān)系的分別是(

A.①、②B.①、④C.②、③D.③、④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知球與正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的所有表面都相切,并且該三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球上,則球與球的表面積之比為( )

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)M(1),過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)AB.

1)求橢圓C的方程;

2)是否存在直線l,滿足?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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