已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求a與b滿足的關(guān)系；
（2）在 （1）的條件下，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程．

解：①⊙C可化為：（x-1）2+（y-1）2=1
圓心C（1，1），r=（13分）
由題意，直線l的方程可設(shè)為
即 bx+ay-ab=0
∵直線與圓相切∴
整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）
②設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x，y）
則
將a=2x，b=2y代入得：（12分）
分析：（1）由于直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求a與b滿足的關(guān)系；
（2）假設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及（1）的結(jié)論，可求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程．
點(diǎn)評：本題以直線與圓相切為載體，綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程的求法，有一定的綜合性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直線l與圓C相切的條件；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）在（1）的條件下，求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為
2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）
2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求a與b滿足的關(guān)系；
（2）在 （1）的條件下，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河北省高二上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，

OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．

(Ⅰ)求證：(a－2)(b－2)＝2；

(Ⅱ)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；

(Ⅲ)求△AOB面積的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣西桂林中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為    ．

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