Question

已知與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線交x軸于A點，交y軸于B點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．則線段AB中點的軌跡方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：化圓的一般方程為標準方程，求出圓的圓心和半徑，寫出與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線的截距式方程，化為一般式，由圓心到直線的距離等于半徑列出一關(guān)系式，設(shè)出A、B的中點坐標，利用中點坐標公式得到中點坐標與切線在坐標軸上的截距的關(guān)系，利用代入法可得線段AB中點的軌跡方程．
解答：解：由x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，
所以已知圓的圓心為（1，1），半徑=1，
設(shè)直線方程為=1．
即bx+ay-ab=0．
因為圓心到切線距離等于半徑，
所以，
（a+b-ab）²=a²+b²，
設(shè)AB中點為（x，y），則x=，y=，
即a=2x，b=2y，代入（a+b-ab）²=a²+b²，
得（2x+2y-4xy）²=4x²+4y²，
整理得2x²y²+xy-2x²y-2xy²=0．
因為a，b都不等于0，
所以x，y也不等于0．
則2xy+1-2x-2y=0
其中x=＞1，y=＞1．
所以線段AB中點的軌跡方程為2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．
故答案為2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．
點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓的關(guān)系，訓練了代入法求軌跡方程，關(guān)鍵是對變量范圍的確定，屬于中檔題．