Question

已知與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直線l與圓C相切的條件；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）在（1）的條件下，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)|OA|=a，|OB|=b，我們?cè)O(shè)以分別求出直線的一般方程，和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑得到結(jié)論；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x，y），代入（1）的結(jié)論，整理后，即可得到答案；
（3）S△AOB=

1

2

|ab|，結(jié)合（1）的結(jié)論，及均值不等式，即可得到答案．

解答：解：設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-1）²=1，圓心C（1，1），半徑r=1．
（1）直線l與圓C相切，則

|b+a-ab|

a2+b2

=1，∴（a-2）（b-2）=2（4分）
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x，y），則x=

a

2

，y=

b

2

，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得(x-1)(y-1)=

1

2

(x＞1，y＞1)（8分）
（3）S△AOB=

1

2

|ab|=a+b-1=（a-2）+（b-2）+3≥2

(a-2)(b-2)

+3=2

2

+3
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+

2

時(shí)，△AOB的面積最小，最小值為2

2

+3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，軌跡方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查的解題方法為坐標(biāo)法，難度中等．