Question

【題目】已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)(為常數(shù))，過點(diǎn)作斜率分別為的兩條直線與，交曲線于兩點(diǎn)，交曲線于兩點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到的距離，從而點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，從而求出答案；

（2）先寫出直線的點(diǎn)斜式方程，再聯(lián)立拋物線方程消元，得韋達(dá)定理結(jié)論，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)，同理求出點(diǎn)，從而求出直線直線的斜率及直線方程，從而得出直線過定點(diǎn)．

解：（1）∵點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，

∴點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到的距離，

∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，

∴動點(diǎn)的軌跡的方程為

（2）由題意，直線的方程為，

設(shè)，由，得，

∴，

又線段的中點(diǎn)為，所以，同理，

∴直線的斜率，

∴直線的方程為：，

即，

∴直線過定點(diǎn)．