Question

如圖1，已知：拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中B、C兩點坐標(biāo)分別為B（4，0）、C（0，-2），連結(jié)AC．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFC（頂點D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=0以及y=0代入y=

1

2

x-2得出B，C的坐標(biāo)．把相關(guān)坐標(biāo)代入拋物線可得函數(shù)關(guān)系式．
（2）已知AB，AC，BC的值，根據(jù)反勾股定理可證明△ABC是直角三角形．
（3）證明△CGF∽△CAB，利用線段比求出有關(guān)線段的值．求出S_矩形DEFG的最大值．再根據(jù)△ADG∽△AOC的線段比求解．

解答： 解：（1）令x=0，y=-2，
當(dāng)y=0代入y=

1

2

x-2得出：x=4，
故B，C的坐標(biāo)分別為：
B（4，0），C（0，-2）
y=

1

2

x²-

3

2

x-2．
（2）△ABC是直角三角形．
證明：令y=0，則

1

2

x²-

3

2

x-2=0．
∴x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0）．
解法一：∵AB=5，AC=

5

，BC=2

5

．
∴AC²+BC²=5+20=25=AB²．
∴△ABC是直角三角形．
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴

CO

BO

=

AO

OC

=

1

2

∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．
（3）能．①當(dāng)矩形兩個頂點在AB上時，如圖1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴

GF

AB

=

CH

CO

．
設(shè)GF=x，則DE=x，
CH=

2

5

x，DG=OH=OC-CH=2-

2

5

x．
∴S_矩形DEFG=x•（2-

2

5

x）=-

2

5

x²+2x=-

2

5

（x-

5

2

）²+

5

2

．
當(dāng)x=

5

2

時，S最大．
∴DE=

5

2

，DG=1．
∵△ADG∽△AOC，
∴

AD

AO

=

DG

OC

，
∴AD=

1

2

，
∴OD=

1

2

，OE=2．
∴D（-

1

2

，0），E（2，0）．
②當(dāng)矩形一個頂點在AB上時，F(xiàn)與C重合，如圖2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴

GD

BC

=

AG

AF

．
設(shè)GD=x，
∴AC=

5

，BC=2

5

，
∴GF=AC-AG=

5

-

x

2

．
∴S_矩形DEFG=x•（

5

-

x

2

）=-

1

2

x²+

5

x
=-

1

2

（x-

5

）²+

5

2

．
當(dāng)x=

5

時，S最大．∴GD=

5

，AG=

5

2

，
∴AD=

AG2+GD2

=

5

2

．
∴OD=

3

2

，∴D（

3

2

，0）
綜上所述：當(dāng)矩形兩個頂點在AB上時，坐標(biāo)分別為（-

1

2

，0），（2，0）；
當(dāng)矩形一個頂點在AB上時，坐標(biāo)為（

3

2

，0）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用以及三角形相似的判定，考生要學(xué)會靈活運用二次函數(shù)的相關(guān)知識．