Question

點P（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，x₀=acosβ，y₀=bsinβ，0＜β＜

π

2

．直線l₂與直線l₁：

x0

a2

x+

y0

b2

y=1垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為α，直線l₂的傾斜角為γ
（Ⅰ）證明：點P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1與直線l₁的唯一交點；
（Ⅱ）證明：tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,等比關(guān)系的確定

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由

x0

a2

x+

y0

b2

y=1，得y=

b2

a2y0

(a2-x0x)，從而x=acosβ，由此能證明直線l₁與橢圓有唯一交點P．
（Ⅱ）tanα=

y0

x0

=

b

a

tanβ，由此得tanαtanγ=tan²β≠0，從而能證明tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）由

x0

a2

x+

y0

b2

y=1，得y=

b2

a2y0

(a2-x0x)，
代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得(

1

a2

+

b2x02

a4y02

)x2-

2b2x0

a2y0

x+(

b2

y02

-1)=0，
將

x0=acosβ y0=bsinβ

，代入上式，得x²-2acosβx+a²cos²β=0，
從而x=acosβ，
∴

x2 a2 + y2 b2 =1 x02 a2 x+ y0 b2 y=1

有唯一解

x=x0 y=y0

，
即直線l₁與橢圓有唯一交點P．
（Ⅱ）tanα=

y0

x0

=

b

a

tanβ，
l₁的斜率為tanγ=

y0a2

x0b2

=

a

b

tanβ，
由此得tanαtanγ=tan²β≠0，
∴tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列．

點評：本題考查直線與橢圓有唯一交點的證明，考查tanα，tanβ，tanγ構(gòu)成等比數(shù)列的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．