Question

若函數(shù)f（x）=x²+2x+a（a∈R，x＜0）圖象上兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）處的切線相互垂直，則x₂-x₁的最小值為

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出f′（x₁）f′（x₂）=-1，代入導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)表達式，得出x₂-x₁的表達式，求出它的最小值即可．

解答： 解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得：
f′（x₁）f′（x₂）=-1，
即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1（x₁＜x₂＜0），
所以（2x₁+2）＜0，（2x₂+2）＞0，
且[-（2x₁+2）]（2x₂+2）=1，
因此x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

-(2x1+2)(2x2+2)

=1，
 當且僅當-（2x₁+2）=（2x₂+2）=1，
即x1=-

3

2

，x2=-

1

2

時等號成立；
所以x₂-x₁的最小值為1．
故答案為：1．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．