Question

已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數(shù)，若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，則不等式f（x）＞2x的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先，根據函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數(shù)，若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，得到f（

1

x

）-x為一個常數(shù)，令這個常數(shù)為n，則f（

1

x

）-x=n，f（n）=2，

解答： 解：根據題意，得
若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（

1

x

）-x]=2，
得到f（

1

x

）-x為一個常數(shù)，
以t換

1

x

，得
f（t）-

1

t

=n，
則f（t）-

1

t

=n，f（n）=2，
∴f（t）=

1

t

+n，
∴f（n）=

1

n

+n=2，
∴n=1，
∵f（x）＞2x等價于
1+

1

x

＞2x，
∴-

1

2

＜x＜1，而定義域為（0，+∞）
∴{x|0＜x＜1}，
故答案為：{x|0＜x＜1}，

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中抽象函數(shù)解析式的求法，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應用．