Question

設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），對任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，且x∈（0，+∞）時，f′（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、[1，+∞）
• B、（-∞，1]
• C、（-∞，2]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令g（x）=f（x）-

1

2

x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在R上是增函數(shù)，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范圍．

解答： 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-

1

2

x² +f（-x）-

1

2

x² =0，
令g（x）=f（x）-

1

2

x²，∵g（-x）+g（x）=f（-x）-

1

2

x²+f（x）-

1

2

x²=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（0，+∞）時，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）-x＞0，故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函數(shù)．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等價于f（2-a）-

(2-a)2

2

≥f（a）-

a2

2

，
即g（2-a）≥g（a），∴2-a≥a，解得a≤1，
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．