Question

直線l：y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)交點(diǎn)為A，B，是否存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)，若存在就求出直線l的方程，若不存在則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）聯(lián)立方程組

3x2-y2=1 y=ax+1

，得（3-a）²x²-2ax-2=0，利用根的判別式能求出a的取值范圍．
（2）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

，由題意得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）聯(lián)立方程組

3x2-y2=1 y=ax+1

，消去y，得：
（3-a）²x²-2ax-2=0，…（2分）
由題意方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則

3-a2≠0 △=(-2a)2-4(3-a2)×(-2)＞0

，…（3分）
解得-

6

＜a＜

6

，且a≠±

3

，
∴a的取值范圍是（-

6

，-

3

）∪（-

3

，

3

）∪（

3

，

6

）．…（5分）
（2）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

，…（6分）
由題意可得，OA⊥OB（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），
則有x₁x₂+y₁y₂=0，…（7分）
而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1…（8分）
∴（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0
于是得(a2+1)

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0
解得a=±1，且滿足（1）的條件，…（10分）
所以存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點(diǎn)，
直線l的方程為y=x+1或y=-x+1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)的取值范圍的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．