Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

2

2

，且短軸長為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點P（0，

2

）與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且

AB

•

OB

=

2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2b=2，

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+

2

，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0，由此利用韋達定理能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

2

2

，且短軸長為2，
∴2b=2，b=1，e=

c

a

=

2

2

，
又∵a²=b²+c²，
∴a=

2

，c=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+

2

，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，消去y得：（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0，
∴x1+x2=

-4 2 k

1+2k2

，x₁x₂=

2

1+2k2

，
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+

2

k(x1+x2)+2，
∴（1+k²）

2

1+2k2

+

2

k•

-4 2 k

1+2k2

+2=

2

3

，
解得k²=1，∴k=±1，
∴直線l的方程為y=x+

2

，或y=-x+

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．