【題目】如果無(wú)窮數(shù)列{an}的所有項(xiàng)恰好構(gòu)成全體正整數(shù)的一個(gè)排列,則稱(chēng)數(shù)列{an}具有性質(zhì)P

(Ⅰ)若ankN*),判斷數(shù)列{an}是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由,

(Ⅱ)若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P,求證:{an}中一定存在三項(xiàng)ai,aj,akijk)構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列;

(Ⅲ)若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P,則{an}中是否一定存在四項(xiàng)ai,aj,ak,al,(ijkl)構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列?證明你的結(jié)論.

【答案】(Ⅰ)數(shù)列{an}具有性質(zhì)P.見(jiàn)解析(Ⅱ)見(jiàn)解析(Ⅲ)不一定存在,見(jiàn)解析

【解析】

)分n為奇數(shù),n為偶數(shù)討論,研究an包含的數(shù)的情況,即得解;

)考慮,令,從開(kāi)始尋找第一個(gè)大于M的項(xiàng),記為:,為奇數(shù),偶數(shù)討論,分別構(gòu)造為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列,即得證.

)構(gòu)造反例:1,2,43,6,8…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反證法,即得證,

)解:ankN*),數(shù)列{an}具有性質(zhì)P

理由如下:

當(dāng)n為奇數(shù),nN*時(shí),ann+1包含所有的正偶數(shù),

當(dāng)n為偶數(shù),nN*時(shí),ann1包含所有的正奇數(shù),

無(wú)窮數(shù)列{an}的所有項(xiàng)恰好構(gòu)成全體正整數(shù)的一個(gè)排列,

數(shù)列{an}具有性質(zhì)P

)證明:不妨設(shè)

考慮,令

開(kāi)始尋找第一個(gè)大于M的項(xiàng),記為:,則中含有1,2,且為前j項(xiàng)中的最大項(xiàng)()

(i)為奇數(shù),,所以之后,記為,則,為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列;

(ii) 為偶數(shù),令,則,為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列.

故結(jié)論成立.

)不一定存在

例如1,2,4,3,68,…,2k-1,4k-2,4k,…,

即每三項(xiàng)構(gòu)成一組,第k組的通項(xiàng)公式為:2k-1,4k-2,4k

假設(shè)存在4項(xiàng)構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列,則存在三項(xiàng)(偶數(shù),奇數(shù),偶數(shù))成等差,

由于中,任意一項(xiàng)奇數(shù)后面的偶數(shù)都大于等于2,

因此不可能存在三項(xiàng)(偶數(shù),奇數(shù),偶數(shù))成等差.

故假設(shè)不成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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國(guó)家

金牌

銀牌

銅牌

獎(jiǎng)牌總數(shù)

中國(guó)

133

64

42

239

俄羅斯

51

53

57

161

巴西

21

31

36

88

某數(shù)學(xué)愛(ài)好者采用分層抽樣的方式,從中國(guó)和巴西獲得金牌選手中抽取了22名獲獎(jiǎng)代表.從這22名中隨機(jī)抽取3人, 則這3人中中國(guó)選手恰好1人的概率為(

A.B.C.D.

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A.7B.12C.6D.

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A組:128100,151,125,120

B組:100102,96,101,

己知B組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為100,且從中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)不小于100的概率是.

1)求a的值;

2)該路公交車(chē)全程所用時(shí)間不超過(guò)100分鐘,稱(chēng)為“正點(diǎn)運(yùn)行”從A,B兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)據(jù),記兩次運(yùn)行中正點(diǎn)運(yùn)行的次數(shù)為X,求X的分布列及期望;

3)試比較A,B兩組數(shù)據(jù)方差的大。ú灰笥(jì)算),并說(shuō)明其實(shí)際意義.

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