Question

已知：函數(shù)y=f（x），x∈R，滿足f（1）=2，f（x+y）=f（x）*f（y），且f（x）是增函數(shù)，
（1）證明：f（0）=1；
（2）若f（2x）*f（x²-1）≥4成立，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）×f（y），得f（0）=f（0）*f（0），
解得f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，令x=1，y=0，則有f（1+0）=f（1）×f（0）=0，這與f（1）=2矛盾，故 f（0）=1
（2）由題意f（2x）×f（x²-1）≥4可變?yōu)閒（x²-1+2x）≥4=2×2=f（1）×f（1）=f（2），
又f（x）是增函數(shù)
故有x²-1+2x≥2，整理得x²-3+2x≥0
解得x≥1或x≤-3
所以x的取值范圍是x≥1或x≤-3
分析：（1）由題意，可令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）×f（y），得f（0）=f（0）*f（0），解得f（0）；
（2）由題意，可將f（2x）×f（x²-1）變?yōu)閒（x²-1+2x），由f（1）=2得4=f（2），從而不等式變?yōu)閒（x²-1+2x）≥f（2），再由函數(shù)是增函數(shù)，將此不等式變?yōu)槎�次不等式，即可解出不等式的解集�?br />點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，對(duì)所給的恒等式靈活賦值，及根據(jù)怕給的恒等式靈活變形是解本題的關(guān)鍵，第一小題中關(guān)鍵是令x=y=0，排除f（0）=0是本小題難點(diǎn)，第二小題將不等式變?yōu)閒（x²-1+2x）≥f（2）是解題的關(guān)鍵，其中根據(jù)恒等式將4變?yōu)閒（2）是本題的重點(diǎn)，本題考查了賦值的技巧及根據(jù)題設(shè)條件轉(zhuǎn)化的能力，考查了轉(zhuǎn)化的思想，