【題目】如圖,已知長方形ABCD中,AB=2AD,M為DC的中點,將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求證:AD⊥BM;
(2)若 =2 ,求二面角E﹣AM﹣D的正弦值.
【答案】
(1)證明:長方形ABCD中,設(shè)AB=2,AD=1,M為DC的中點
則AM=BM= ,∴AM2+BM2=AB2,∴BM⊥AM
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM,∴AD⊥BM
(2)解:建立如圖所示的直角坐標系,
∵ =2 ,設(shè)AB=2,AD=1,
∴A( ,0,0),M(﹣ ,0,0),B(﹣ , ,0),D(0,0, ),
則平面AMD的一個法向量 =(0,1,0),
=( , , ), =(﹣ ,0,0),
設(shè)AME的一個法向量 =(x,y,z),
則 ,取y=1,得 =(0,1,﹣4),
設(shè)二面角E﹣AM﹣D的平面角為θ,
則cosθ= = ,sinθ= = ,
∴二面角E﹣AM﹣D的正弦值為 .
【解析】(1)先證明BM⊥AM,再利用平面ADM⊥平面ABCM,證明BM⊥平面ADM,從而可得AD⊥BM.(2)建立直角坐標系,求出平面AMD、平面AME的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可得出二面角E﹣AM﹣D的正弦值.
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【題目】已知圓M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2 ,則圓M與圓N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的位置關(guān)系是( )
A.內(nèi)切
B.相交
C.外切
D.相離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)證明:A=2B;
(2)若cosB= ,求cosC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點,AC與BM交于點N,BN=BM.
(1)求證:M是CD的中點;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上異于點B的一動點,求的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2e2x+m|x|ex+1(m∈R)有四個零點,則m的取值范圍為( )
A.(﹣∞,﹣e﹣ )
B.(﹣∞,e+ )
C.(﹣e﹣ ,﹣2)
D.(﹣∞,﹣ )
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+4|.
(1)若y=f(2x+a)+f(2x﹣a)最小值為4,求a的值;
(2)求不等式f(x)>1﹣ x的解集.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= 的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱,則g(x)的圖象的一個對稱中心為( )
A.( ,0)
B.( ,0)
C.( ,0)
D.( ,0)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|,g(x)=x2+2ax+1(a為正實數(shù)),滿足f(0)=g(0);
函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)+b定義域為D.
(1)求a的值;
(2)若存在x0∈D,使F(x0)=x0成立,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)若n為正整數(shù),證明:<4.
(參考數(shù)據(jù):lg3=0.3010, =0.1342,=0.0281, =0.0038)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓Г: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,F(xiàn)2與橢圓上點的連線的中最短線段的長為 ﹣1.
(1)求橢圓Г的標準方程;
(2)已知Г上存在一點P,使得直線PF1 , PF2分別交橢圓Г于A,B,若 =2 , =λ (λ>0),求λ的值.
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