Question

已知拋物線C₁：y=-

1

2p

x2（p＞0）的焦點與雙曲線C₂：

x2

3

-y²=1的左焦點的連線交C₁于第三象限的點M．若C₁在點M處的切線平行于C₂的一條漸近線，則P=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出函數(shù)在x取直線與拋物線交點M的橫坐標時的導數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標與p的關系，把M點的坐標代入直線方程即可求得p的值．

解答： 解：由y=-

1

2p

x2，得x²=-2py（p＞0），
∴拋物線的焦點坐標為F（0，-

p

2

）．
由

x2

3

-y²=1，得a=

3

，b=1，c=2，
∴雙曲線的左焦點為（-2，0）．
則拋物線的焦點與雙曲線的左焦點的連線所在直線方程為

y-0

- p 2 -0

=

x+2

0+2

，
即

p

2

x+2y+p=0①．
設該直線交拋物線于M（x0，-

x02

2p

），則C₁在點M處的切線的斜率為-

x0

p

．
由題意可知-

x0

p

=

b

a

=

3

3

，得x₀=-

3

3

p，代入M點得M（-

3

3

p，-

p

6

）
把M點代入①得：-

3

6

p2-

p

3

+p=0．
解得p=

4 3

3

．
故答案為：

4 3

3

．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導數(shù)，是中檔題．