Question

已知關于函數(shù)，

    （Ⅰ）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

    （Ⅱ）若在區(qū)間內(nèi)有極值，試求a的取值范圍；

    （Ⅲ）時，若有唯一的零點，試求．

    （注：為取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如；以下數(shù)據(jù)供參考：）

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意的定義域為

 

（i）若，則在上恒成立，為其單調(diào)遞減區(qū)間；

（ii）若，則由得，

時，，時，，

所以為其單調(diào)遞減區(qū)間；為其單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）

所以的定義域也為，且

令 （*）

則 （**）

時, 恒成立,所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一個變號零點，且也是的變號零點，此時在區(qū)間內(nèi)有極值．

時,即在區(qū)間（0,1）上恒成立,此時, 無極值．

綜上所述,若在區(qū)間內(nèi)有極值，則a的取值范圍為．

（Ⅲ）,由（Ⅱ）且知時, ．

又由（*）及（**）式知在區(qū)間上只有一個極小值點,記為, 且時單調(diào)遞減, 時單調(diào)遞增,由題意即為,

 

_消去a,得時令,

則在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù), 為單調(diào)遞減函數(shù),

且