Question

數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，且(n+1)an+1=

nan

nan+1

（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前2014項(xiàng)的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得

1

(n+1)an+1

=

nan+1

nan

=

1

nan

+1，從而

1

(n+1)an+1

-

1

nan

=1，進(jìn)而數(shù)列{

1

nan

}是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此求出an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，從而利用裂項(xiàng)求和法能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，且(n+1)an+1=

nan

nan+1

（n∈N^*），
∴

1

(n+1)an+1

=

nan+1

nan

=

1

nan

+1，
∴

1

(n+1)an+1

-

1

nan

=1，
∵a1=

1

2

，∴

1

a1

=2，
∴數(shù)列{

1

nan

}是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

nan

=2+（n-1）×1=n+1，
∴an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₄=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案為：

2014

2015

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前2014項(xiàng)的和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．