Question

已知等差數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)a₁和公差d均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）若a₁=1，且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，求公差d；
（Ⅱ）若n≠5時(shí)，恒有S_n＜S₅，求a₁的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求公差d；
（Ⅱ）n≠5時(shí)，恒有S_n＜S₅，可得S₅最大且有d＜0，結(jié)合a₁，d∈Z求a₁的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得a42=a2•a9
將a₁=1代入得（1+3d）²=（1+d）•（1+8d）…（4分）
解得d=0或 d=3…（6分）
（Ⅱ）∵n≠5時(shí)，恒有S_n＜S₅，∴S₅最大且有d＜0，
又由 

s5＞s6 s5＞s4

⇒

a6＜0 a5＞0

，
∴

a1+5d＜0 a1+4d＞0

⇒-4d＜a1＜-5d…（10分）
又∵a₁，d∈Z，d＜0故
當(dāng)d=-1時(shí) 4＜a₁＜5此時(shí)a₁不存在，…（12分）
當(dāng)d=-2時(shí) 8＜a₁＜10則a₁=9，
當(dāng)d=-3時(shí) 12＜a₁＜15，…
易知d≤-3時(shí)a₁＞9…（14分）
綜上：a₁=9．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．