Question

將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器．當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長為______時(shí)，其容積最大．

Answer 1

【答案】分析：要求正六棱柱容器的容積最大，得需要得出容積表達(dá)式；由柱體的體積公式知，底面積是正六邊形，是六個(gè)全等小正△的和，高是Rt△中60°角所對的直角邊，由高和底面積得出容積函數(shù)，用求導(dǎo)法可以求出最大值時(shí)的自變量取值．
解答：解：如圖，設(shè)底面六邊形的邊長為x，高為d，則
d=；
又底面六邊形的面積為：
S=6••x²•sin60°=；
所以，這個(gè)正六棱柱容器的容積為：
V=Sd==，
則對V求導(dǎo)，得
V′=，令V′=0，得x=0或x=，
當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′＞0，V是增函數(shù)；當(dāng)x＞時(shí)，V′＜0，V是減函數(shù)；
∴x=時(shí)，V有最大值．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題通過建立體積函數(shù)表達(dá)式，由求導(dǎo)的方法求函數(shù)最大值，是比較常用的解題思路，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．