將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為
2
3
2
3
時(shí),其容積最大.
分析:要求正六棱柱容器的容積最大,得需要得出容積表達(dá)式;由柱體的體積公式知,底面積是正六邊形,是六個(gè)全等小正△的和,高是Rt△中60°角所對(duì)的直角邊,由高和底面積得出容積函數(shù),用求導(dǎo)法可以求出最大值時(shí)的自變量取值.
解答:解:如圖,設(shè)底面六邊形的邊長(zhǎng)為x,高為d,則
d=
3
1
2
•(1-x)
;
又底面六邊形的面積為:
S=6•
1
2
•x2•sin60°=
3
2
3
x
2
;
所以,這個(gè)正六棱柱容器的容積為:
V=Sd=
3
2
3
x2
3
2
(1-x)
=
9
4
(x2-x3)

則對(duì)V求導(dǎo),得
V′=
9
4
(2x-3x2)
,令V′=0,得x=0或x=
2
3
,
當(dāng)0<x<
2
3
時(shí),V′>0,V是增函數(shù);當(dāng)x>
2
3
時(shí),V′<0,V是減函數(shù);
∴x=
2
3
時(shí),V有最大值.
故答案為:
2
3
點(diǎn)評(píng):本題通過建立體積函數(shù)表達(dá)式,由求導(dǎo)的方法求函數(shù)最大值,是比較常用的解題思路,也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.
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時(shí),其容積最大.

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如圖,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為多少時(shí),其容積最大.

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如圖,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器(圖).當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為      時(shí),其容積最大.

 

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