Question

20．已知函數(shù)f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1
（1）當x＜0時，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1，可得f（-x）的表達式，進而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）=-f（-x），可得答案；
（2）x₁＜x₂＜0，判斷f（x₁），f（x₂）的大小，結合函數(shù)單調性的定義，可得答案．

解答 解：（1）設設x＜0，則-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-$\frac{1}{x}$-1；…（7分）
（2）設x₁＜x₂＜0，
則x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{{x}_{1}•x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調增函數(shù)．  …（14分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性，是函數(shù)圖象和性質的簡單綜合應用．