Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，，D是棱CC₁的中點．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)條件得到BC⊥平面ACC₁A₁．建立空間直角坐標系，求出各對應點的坐標，
（Ⅰ）求出向量A₁D，B₁C₁，AB₁的坐標，只要證得其數(shù)量積為0即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）先求出兩個平面的法向量，再代入夾角計算公式即可求出結(jié)論．
解答：解：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BC⊥CC₁．
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁．                         …（2分）
以C為坐標原點，CB、CC₁、CA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C（0，0，0），B（1，0，0），，，，，．                                                     …（4分）
（Ⅰ），，，
∵=0，=0，
∴，，即A₁D⊥B₁C₁，A₁D⊥AB₁．
∵B₁C₁∩AB₁=B₁，∴A₁D⊥平面AB₁C₁．                             …（7分）
（Ⅱ）設(shè)n=（x，y，z）是平面ABB₁的法向量，由得
取z=1，則是平面ABB₁的一個法向量．                   …（10分）
又是平面AB₁C₁的一個法向量，…（12分）
且與二面角B-AB₁-C₁的大小相等．
由cos＜，＞==-．
故二面角B-AB₁-C₁的余弦值為．                               …（14分）
點評：本小題主要考查空間中線面關(guān)系，二面角及其平面角、坐標方法的運用等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．