Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=BC，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）在CC₁上是否存在一點E，使得∠BA₁E=45°，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A₁BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定定理即可得出；
（2）利用直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（3）利用面面垂直的判定定理即可證明．

解答：證明：（1）連接AB₁與A₁B相較于點M，連接MD，則點M為AB₁的中點．
又D為AC的中點，由三角形的中位線定理可得：MD∥B₁C．
又∵B₁C?平面A₁BD，MD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵AB=B₁B，及直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴四邊形ABB₁A₁為正方形，BB₁⊥B₁C₁．
∴A₁B⊥AB₁．
又AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
又AB₁∩AC₁=A．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁．
∵A₁B∩BB₁=B，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
（3）設AB=a，CE=x，∵B₁C₁⊥A₁B₁，在Rt△A₁B₁C₁中，有A1C1=

2

a，同理A1B1=

2

a，∴C₁E=a-x．
∴A1E=

2a2+(a-x)2

=

x2-2ax+3a2

，BE=

a2+x2

，
∴在△A₁BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1Ecos45°，
即a²+x²=2a²+x²+3a²-2ax-2

2

a

3a2+x2-2ax

×

2

2

．
∴

3a2+x2-2ax

=2a-x，
∴x=

1

2

a，即E是C₁C的中點．
∵D、E分別為AC、C₁C的中點，∴DE∥AC₁．
∵AC₁⊥平面A₁BD，∴DE⊥平面A₁BD．
又DE?平面BDE，∴平面A₁BD⊥平面BDE．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定定理、直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．