Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得AC⊥面A'ABB'從而面AB'C⊥面A'ABB'，連接A'B，由已知有A'B⊥AB'，從而可證A'B⊥面AB′C． 
（2）設(shè)A'B∩AB'于M，過M作MN⊥B'C于N，則可知∠BNM為二面角B-B'C-A的平面角，在Rt△BMN中，可求．

解答：證明：（1）∵AC⊥AB，AC⊥AA'
∴AC⊥面A'ABB'
∴面AB'C⊥面A'ABB'，（3分）
連接A'B，由已知有A'B⊥AB'，則A'B⊥面AB'C．                       （6分）
（2）設(shè)A'B∩AB'于M，過M作MN⊥B'C于N．連BN，由三垂線定理得：BN⊥B'C
∴∠BNM為二面角B-B'C-A的平面角        （10分）
在Rt△BMN中，BM=

2

2

，又B'C與平面ABC成30°角
即∠B′CB=30°∴BC=

3

．
從而BN=

3

2

．sin∠BNM=

BM

BN

=

6

3

為所求．                          （12分）

點評：本題以直三棱柱為載體，考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直，考查面面角，屬于中檔題．