Question

若3f（x-2012）+4f（2012-x）=5（x-2012）對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立，則f（x）的解析式為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，設(shè)t=x-2012，原函數(shù)可化為3f（t）+4f（-t）=5t，判定f（t）為R上的奇函數(shù)，求出f（t）的解析式即為f（x）的解析式．

解答： 解：設(shè)t=x-2012，
則3f（x-2012）+4f（2012-x）=5（x-2012）可化為，
3f（t）+4f（-t）=5t…①，
再設(shè)t=-s，
則3f（-s）+4f（s）=-5s，
即-4f（s）-3f（-s）=5s，
改寫(xiě)為-4f（t）-3f（-t）=5t…②，
比較①、②，得：
3f（t）+4f（-t）=-4f（t）-3f（-t），
即f（t）=-f（-t），特別地f（0）=0，
∴f（t）為R上的奇函數(shù)；
由①得，
5t=3f（t）+4f（-t）=3f（t）-4f（t）=-f（t），
即f（t）=-5t，
∴f（x）=-5x．
故答案為：f（x）=-5x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)解析式的問(wèn)題，是易錯(cuò)題．