Question

已知a∈R，函數f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e為自然對數的底數）．問函數f（x）是否為R上的單調遞減函數？若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，判斷f'（x）≤0是否成立即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=（-x²+ax）e^x，
∴f'（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，
要使函數f（x）是否為R上的單調遞減函數，
則f'（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x≤0，
即-x²+（a-2）x+a≤0，
∴x²-（a-2）x-a≥0恒成立，
∴△=（a-2）²+4a²≤0，
∴5a²-4a+4≤0，
∵△₁=16-4×5×4=-64＜0，
∴5a²-4a+4≤0不成立，
即函數f（x）在R上的不可能是單調遞減函數．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷，利用導數是解決本題的關鍵，要求熟練掌握一元二次不等式的解法．