Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-3，3]
• B． [3，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，根據(jù)已知條件得到g（x）的單調(diào)性，從而得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（x）+g（-x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²+f（-x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)
∵x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′（x）-x＜0，
函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）為減函數(shù)，
又由題可知，f（0）=0，g（0）=0，
所以函數(shù)g（x）在R上為減函數(shù)
∴f（6-m）-f（m）-18+6m
=f（6-m）+$\frac{1}{2}$（6-m）²-f（m）-$\frac{1}{2}$m²-18+6m≥0，
即g（6-m）-g（m）≥0，
∴g（6-m）≥g（m），
∴6-m≤m，
∴m≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，判斷出g（x）的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．