Question

17．兩個非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$不共線．
（1）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+8$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），求證：A、B、D三點共線；
（2）求實數(shù)k使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$共線．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=6$\overrightarrow{AB}$，即可A、B、D三點共線．
（2）由于k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$共線．存在實數(shù)λ使得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=λ（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）．利用向量基本定理即可得出．

解答 （1）證明∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$+$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow$+$3（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$6\overrightarrow{a}+6\overrightarrow$=6$\overrightarrow{AB}$，
∴A、B、D三點共線．
（2）解：∵k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$共線．
∴存在實數(shù)λ使得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=λ（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）．
∴（k-2λ）$\overrightarrow{a}$+（1-λk）$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-2λ=0}\\{1-λk=0}\end{array}\right.$，解得k=±$\sqrt{2}$．
∴k=±$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了向量共線定理、向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．