Question

17．R上的奇函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-（x-1）²．
（1）證明f（x）為周期函數(shù)．
（2）求f（x）在x∈[-2，2]的表達(dá)式．
（3）結(jié)合圖象在R上解關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期性的定義，結(jié)合函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)即可證明f（x）為周期函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)即可求f（x）在x∈[-2，2]的表達(dá)式．
（3）結(jié)合圖象在R上解關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{x}{2}$．

解答 解：（1）∵f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴f（1+x）=f（1-x），
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則f（x）為周期函數(shù)，周期為4．
（2）若x∈[-1，0]時(shí)，則-x∈[0，1]時(shí)，
此時(shí)f（-x）=1-（-x-1）²=1-（x+1）²．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=1-（x+1）²=-f（x），
則f（x）=（x+1）²-1=x²+2x，x∈[-1，0]
若x∈[-2，-1]時(shí)，則x+2∈[0，1]，
則此時(shí)f（x）=-f（x+2）=-[1-（x+2-1）²]=-1+（x+1）²=x²+2x，x∈[-2，-1]．
若x∈[1，2]時(shí)，則x-2∈[-1，0]，
由f（x+2）=-f（x）
得f（x）=-f（x-2）=-[（x-2+1）²-1]=1-（x-1）²=-x²+2x，x∈[1，2]
即f（x）在x∈[-2，2]的表達(dá)式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，}&{-2≤x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，}&{0＜x≤2}\end{array}\right.$．

（3）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，由f（x）=$\frac{x}{2}$得-x²+2x=$\frac{x}{2}$，
即x²-$\frac{3x}{2}$=0，得x=0或x=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，由f（x）=$\frac{x}{2}$得x²+2x=$\frac{x}{2}$，
即x²+$\frac{3x}{2}$=0，得x=0或x=-$\frac{3}{2}$，
由于函數(shù)的周期為4，
則方程f（x）=$\frac{x}{2}$的根為x=4k或x=$\frac{3}{2}$+4k，或x=-$\frac{3}{2}$+4k，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查周期函數(shù)的證明以及函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性以及奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．