Question

某廠家擬在2006年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元(m≥0)滿足x=3(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件.已知2006年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用).

(1)將2006年該產(chǎn)品的利潤(rùn)(萬(wàn)元)表示為年促銷費(fèi)用m(萬(wàn)元)的函數(shù)；

(2)該廠家2006年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大?

Answer 1

思路分析：(1)本題含有多個(gè)計(jì)算公式：年利潤(rùn)=年銷售收入-總成本；年銷售收入=年銷售量×銷售價(jià)格；總成本=產(chǎn)品成本＋促銷費(fèi)用；銷售價(jià)格=1.5×每件產(chǎn)品年平均成本；產(chǎn)品成本=固定投入＋再投入；每件產(chǎn)品年平均成本=產(chǎn)品成本／年銷售量.

(2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(m)的最大值.

解：(1)由題意可知,當(dāng)m=0時(shí)，x=1(萬(wàn)件)，

∴1=3-k,即k=2.

∴x=.

由題意,得每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元)，則2006年的利潤(rùn)

y=x［1.5×］-(8+16x+m)

=4+8x-m

=4+8(3)-m

=-m+28(m≥0)，

即y=-m+28(m≥0).

(2)下面證明當(dāng)0≤m≤3時(shí)，函數(shù)y=-m+28是增函數(shù).

設(shè)0≤m₁＜m₂≤3，則

y₁-y₂=(-m₁+28)-(-m₂+28)

=()+(m₂-m₁)

=+(m₂-m₁)

=(m₁-m₂)［-1］,

∵0≤m₁＜m₂≤3，∴m₁-m₂＜0，0＜(m₂+1)(m₁+1)＜16.

∴＞1.

∴-1＞0.

∴y₁＜y₂.

∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，函數(shù)y=-m+28是增函數(shù).

同理可證,當(dāng)m＞3時(shí)，函數(shù)y=-m+28是減函數(shù).

則當(dāng)m=3(萬(wàn)元)時(shí)，y_min=21(萬(wàn)元).

∴該廠家2006年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大值為21萬(wàn)元.