Question

某廠家擬在2006年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x＝3(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2006年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用)．

(1)將2006年該產(chǎn)品的利潤(rùn)(萬元)表示為年促銷費(fèi)用m(萬元)的函數(shù)；

(2)該廠家2006年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意可知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1(萬件)， 　　∴1＝3－k，即k＝2． 　　∴x＝． 　　由題意，得每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元)，則2006年的利潤(rùn) 　　y＝x[1.5×]－(8＋16x＋m) 　�。�4＋8x－m 　�。�4＋8(3)－m 　�。�－m＋28(m≥0)， 　　即y＝－m＋28(m≥0)． 　　(2)下面證明當(dāng)0≤m≤3時(shí)，函數(shù)y＝－m＋28是增函數(shù)． 　　設(shè)0≤m1＜m2≤3，則 　　y1－y2＝(－m1＋28)－(－m2＋28) 　�。�()＋(m2－m1) 　�。�＋(m2－m1) 　　＝(m1－m2)[－1]， 　　∵0≤m1＜m2≤3，∴m1－m2＜0，0＜(m2＋1)(m1＋1)＜16． 　　∴＞1． 　　∴－1＞0． 　　∴y1＜y2． 　　∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，函數(shù)y＝－m＋28是增函數(shù)． 　　同理可證，當(dāng)m＞3時(shí)，函數(shù)y＝－m＋28是減函數(shù)． 　　則當(dāng)m＝3(萬元)時(shí)，ymin＝21(萬元)． 　　∴該廠家2006年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大值為21萬元．

提示：

(1)本題含有多個(gè)計(jì)算公式：年利潤(rùn)＝年銷售收入－總成本；年銷售收入＝年銷售量×銷售價(jià)格；總成本＝產(chǎn)品成本＋促銷費(fèi)用；銷售價(jià)格＝1.5×每件產(chǎn)品年平均成本；產(chǎn)品成本＝固定投入＋再投入；每件產(chǎn)品年平均成本＝產(chǎn)品成本/年銷售量． 　　(2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y＝f(m)的最大值．