【題目】甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓,在培訓期間,他們參加的5次預賽成績記錄如下:

82

82

79

95

87

95

75

80

90

85


(1)請用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個,求甲的成績比乙高的概率;
(3)現(xiàn)要從中選派一人參加9月份的全國數(shù)學聯(lián)賽,從統(tǒng)計學的角度考慮,你認為選派哪位學生參加合適?請說明理由.

【答案】
(1)解:作出莖葉圖如下圖


(2)解:記甲被抽到的成績?yōu)閤,乙被抽到成績?yōu)閥,用數(shù)對(x,y)表示基本事件:

(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),

(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),

(79,95),(79,75),(79,80),(79,90),(79,85),

(95,95),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85),

(87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85),

基本事件總數(shù)n=25

記“甲的成績比乙高”為事件A,事件A包含的基本事件:

(82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75),

(95,80),(95,90),(95,85),(87,75),(87,80),(87,85),

事件A包含的基本事件數(shù)m=12

所以


(3)解:派甲參賽比較合適,理由如下: = (70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5)=85,

= (70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5)=85

= ,S2<S2∴甲的成績較穩(wěn)定,派甲參賽比較合適


【解析】(1)用莖葉圖表示兩組數(shù)據(jù),首先要先確定“莖”值,再將數(shù)據(jù)按“莖”值分組分類表示在“葉”的位置.(2)要從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個,求甲的成績比乙高的概率,首先要計算“要從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個”的事件個數(shù),再計算“甲的成績比乙高”的事件個數(shù),代入古典概型公式即可求解.(3)選派學生參加大型比賽,是要尋找成績發(fā)揮比較穩(wěn)定的優(yōu)秀學生,所以要先分析兩名學生的平均成績,若平均成績相等,再由莖葉圖分析出成績相比穩(wěn)定的學生參加.
【考點精析】本題主要考查了莖葉圖和極差、方差與標準差的相關(guān)知識點,需要掌握莖葉圖又稱“枝葉圖”,它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進行比較,將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干(莖),將變化大的位的數(shù)作為分枝(葉),列在主干的后面,這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數(shù),每個數(shù)具體是多少;標準差和方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差和方程為0時,樣本各數(shù)據(jù)全相等,數(shù)據(jù)沒有離散性;方差與原始數(shù)據(jù)單位不同,解決實際問題時,多采用標準差才能正確解答此題.

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(1)求曲線 的普通方程與曲線 的直角坐標方程;
(2)試判斷曲線 是否存在兩個交點,若存在,求出兩交點間的距離;若不存在,說明理由.

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