【題目】在四面體中，已知，.

（1）當四面體體積最大時，求的值；

（2）當時，設(shè)四面體的外接球球心為，求和平面所成夾角的正弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取中點，連接，，過點作，由題意可知當平面時，四面體的面積最大，求出此時的的值即可得解；

（2）在線段上取，使，為的內(nèi)心，過作平面，則球心在直線上，設(shè)，球的半徑為，由勾股定理求得后，由即可得解.

（1）取中點，連接，，過點作,

由可得，，，

由可得平面，

又平面，所以平面平面，所以平面，

即即為四面體的高，由，可知當平面四面體面積最大，

此時即的值為；

（2）當時，，則為的中點，

所以，，

在線段上取，使，易知為的內(nèi)心，，

過作平面，則球心在直線上，

球心為，過點作，連接，，則，

設(shè)，球的半徑為，則，

則，

，

所以，解得，

所以，，，

設(shè)和平面所成夾角為，

由平面可知，

所以和平面所成夾角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（1）化、的參數(shù)方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若直線的極坐標方程為：，曲線上的點對應(yīng)的參數(shù)，曲線上的點對應(yīng)的參數(shù)，求的中點到直線的距離.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點.

（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）求證：.（其中為的極小值點）

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【題目】已知正方體的棱長為1，P是空間中任意一點，下列正確命題的個數(shù)是（ ）

①若P為棱中點，則異面直線AP與CD所成角的正切值為；

②若P在線段上運動，則的最小值為；

③若P在半圓弧CD上運動，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為；

④若過點P的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為

A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平行四邊形中，，，，是EA的中點（如圖1），將沿CD折起到圖2中的位置，得到四棱錐是．

（1）求證：平面PDA；

（2）若PD與平面ABCD所成的角為．且為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了政府對過熱的房地產(chǎn)市場進行調(diào)控決策，統(tǒng)計部門對城市人和農(nóng)村人進行了買房的心理預(yù)期調(diào)研，用簡單隨機抽樣的方法抽取110人進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：

買房

不買房

糾結(jié)

城市人

5

15

農(nóng)村人

20

10

已知樣本中城市人數(shù)與農(nóng)村人數(shù)之比是3：8．

分別求樣本中城市人中的不買房人數(shù)和農(nóng)村人中的糾結(jié)人數(shù)；

用獨立性檢驗的思想方法說明在這三種買房的心理預(yù)期中哪一種與城鄉(xiāng)有關(guān)？

參考公式：．

k

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，（為常數(shù)）對于任意的恒成立．

（1）若，求的值；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，關(guān)于的不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點，分別在軸，軸上運動，，點在線段上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線與交于，兩點，，若直線，的斜率之和為2，直線是否恒過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，圓的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標方程；

（2）設(shè)動點在圓上，動線段的中點的軌跡為，與直線交點為，且直角坐標系中，點的橫坐標大于點的橫坐標，求點的直角坐標.

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