Question

【題目】已知圓x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.

(1)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，該圓恒過一定點(diǎn)；

(2)若該圓與圓x2＋y2＝4相切，求a的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) a＝1±.

【解析】試題分析：（1）將分離，可得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，則，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可將兩圓關(guān)系分為外切和內(nèi)切，分別求出的值.

試題解析：(1)證明：圓的方程可整理為(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，

此方程表示過圓x2＋y2－20＝0和直線－4x＋2y＋20＝0交點(diǎn)的圓系．

由得

∴已知圓恒過定點(diǎn)(4，－2)．

(2)圓的方程可化為(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.

①當(dāng)兩圓外切時(shí)，d＝r1＋r2，

即，

解得a＝或a＝ (舍去)；

②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，d＝|r1－r2|，

即，

解得a＝或a＝ (舍去)．

綜上所述，a＝.