已知f（x）=
x-a
2x2+b
為R上的奇函數(shù)（a，b是常數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象過點（1，
1
3
）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{an}：a1=
1
2
，an+12=2an•f（an），設(shè)bn=
1
an2
-2，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{
n
an2
}的前n項和Sn，若Sn+
1
2n-2
-m＞0對一切n∈N*恒成立，求m的取值范圍．
考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）利用f（0）=0，f（1）=
1
3
，建立方程組，求出a，b，即可求f（x）的表達式；
（2）由an+12=2an•f（an）=2•
an2
2an2+1
，可得
1
an+12
-2=
1
2
（
1
an2
-2），即可證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（3）令Cn=Sn+
1
2n-2
，證明{Cn}為遞增數(shù)列，即可求m的取值范圍．
解答： （1）解：∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0．
∵f（1）=
1
3

∴
-
a
b
=0
1-a
2+b
=
1
3
，∴a=0，b=1，
∴f（x）=
x
2x2+1
   …（3分）
（2）證明：∵an+12=2an•f（an）=2•
an2
2an2+1
，
∴
1
an+12
-2=
1
2
（
1
an2
-2）
∵bn=
1
an2
-2，
∴bn+1=
1
2
bn，
∴數(shù)列{bn}是以2為首項，
1
2
為公比的等比數(shù)列．…（7分）
（3）解：∵bn=
1
2n-2
=
1
an2
-2，
∴
1
an2
=
1
2n-2
+2，
∴
n
an2
=
n
2n-2
+2n…（8分）
∵Sn+
1
2n-2
-m＞0對一切n∈N*恒成立，
∴m＜Sn+
1
2n-2
對一切n∈N*恒成立．
令Cn=Sn+
1
2n-2
，則
∵Cn+1-Cn=Sn+1+
1
2n-1
-Sn-
1
2n-2
=
n
2n-1
+2n+2＞0，
∴{Cn}為遞增數(shù)列
∴（Cn）min=C1=6，
∴m＜6 …（14分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查了等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的單調(diào)性，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2sin（
π
4
-x）sin（
π
4
+x）（x∈R）是（　�。�
A、最大值為2的偶函數(shù)
B、最大值為1的偶函數(shù)
C、最大值為2的奇函數(shù)
D、最大值為1的奇函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2CA，∠CAB=
π
2
，則直線AC1與直線A1B夾角的余弦值為（　　）
A、
5
5
B、
2
5
5
C、
10
5
D、
15
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2﹙x+
π
12
﹚，g﹙x﹚=1+
1
2
sin2x．求：
（1）設(shè)x=x0是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x0）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當x∈[-
5π
12
，
π
6
]時，若存在實數(shù)m使得方程h﹙x﹚=m有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)U={x|x為不大于6的自然數(shù)}，A={2，3，5}，B={x|x2-6x+8=0}，求∁U（A∪B），（∁UA）∪（∁UB）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
x
-x，當0≤x≤1時，求函數(shù)的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（2+a）x+a2lnx，g（x）=x2+2x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同，若a＞0，試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值；
（Ⅲ）設(shè)b=2a2+2a，若對任意給定的x0∈（0，1]，總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得g（xi）+f（x0）=0成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a2=-
1
7
，an=
an-1
(-1)nan-1-2
（n≥2，n∈N）．
（1）求a1的值；
（2）求證：數(shù)列{
1
an
+（-1）n}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)cn=ansin
(2n-1)π
2
，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn．求證：對任意的n∈N*，Tn＜
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，點A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O，在側(cè)棱AA1上存在一點E，且OE⊥B1C．
（1）證明：OE⊥面BB1C1C．
（2）求出AE的長；
（3）求二面角A1-B1C-C1的大�。�

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